Como encontrar la ecuacion de una circunferencia con 3 puntos

En geometría analítica, es común necesitar encontrar la ecuación de una circunferencia a partir de tres puntos dados. Este proceso puede resultar un poco complicado, pero siguiendo los pasos adecuados, podremos obtener la ecuación de manera sencilla.

Paso 1: Encontrar el centro de la circunferencia

El primer paso para encontrar la ecuación de una circunferencia con tres puntos es encontrar el centro de la misma. Para hacer esto, debemos encontrar las coordenadas del punto medio de cualquiera de los segmentos que unen dos de los puntos dados. Repitiendo este proceso con otros dos segmentos, obtendremos tres puntos medios que se intersectarán en el centro de la circunferencia.

Paso 2: Encontrar el radio de la circunferencia

Una vez que hemos encontrado el centro de la circunferencia, podemos encontrar el radio de la misma utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Para esto, debemos calcular la distancia entre el centro de la circunferencia y cualquiera de los puntos dados.

Paso 3: Escribir la ecuación de la circunferencia

Finalmente, podemos escribir la ecuación de la circunferencia utilizando la fórmula general de la ecuación de una circunferencia:

x2 + y2

+

ax

+

by

+

c = 0

Sustituimos las coordenadas del centro de la circunferencia (h, k) y el valor del radio (r) en la fórmula y simplificamos:

x2 + y2

+

-2hx

+

-2ky

+

h2 + k2 - r2 = 0

Esta es la ecuación de la circunferencia buscada.

Ejemplo práctico

Supongamos que se nos dan los puntos A(2, 3), B(4, 5) y C(6, 1). Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos puntos, seguimos los pasos descritos anteriormente:

• Encontramos el centro de la circunferencia: el punto medio del segmento AB es ((2+4)/2, (3+5)/2) = (3, 4), y el punto medio del segmento BC es ((4+6)/2, (5+1)/2) = (5, 3).
• El centro de la circunferencia es la intersección de los segmentos que unen los puntos medios: ((3+5)/2, (4+3)/2) = (4, 3.5).
• Calculamos el radio de la circunferencia: la distancia entre el centro (4, 3.5) y cualquiera de los puntos dados, por ejemplo A, es √((2-4)² + (3-3.5)²) = √5/2.
• Escribimos la ecuación de la circunferencia: sustituimos los valores obtenidos en la fórmula general y simplificamos: x² + y² - 8x - 7y + 39/4 = 0.

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C es x² + y² - 8x - 7y + 39/4 = 0.

Conclusión y despedida

Encontrar la ecuación de una circunferencia con tres puntos puede parecer complicado al principio, pero siguiendo los pasos adecuados podemos obtenerla de manera sencilla. Solo basta con encontrar el centro y el radio de la circunferencia, y luego escribir la ecuación utilizando la fórmula general. ¡A practicar!